Inteiros algébricos e irracionalidade

uma abordagem via dinâmica discreta

Resumo

A irracionalidade de √2 constitui um tópico recorrente no currículo de Matemática, sendo tradicionalmente abordada por meio de demonstrações baseadas em argumentos de paridade. No entanto, estudos indicam que professores em formação apresentam dificuldades persistentes na compreensão da estrutura lógica dessas provas. Neste artigo, desenvolvemos uma abordagem alternativa via dinâmica discreta, inspirada na prova de Casás Ferrerño (2009, p.68), que interpreta a irracionalidade como consequência de uma tensão entre convergência analítica e estrutura aritmética: sob a hipótese de racionalidade, a iteração de uma contração linear gera uma sequência de números naturais estritamente positivos que, por contradição, converge para zero. A principal contribuição desse artigo é a generalização desse argumento para inteiros algébricos reais arbitrários, estabelecendo que todo inteiro algébrico real é inteiro ou irracional. A abordagem unifica casos antes tratados separadamente, possibilita a visualização geométrica via diagramas cobweb e oferece contribuição ao Conhecimento Especializado do Conteúdo na formação de professores de Matemática.